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... 但是,如果沒有無窮級數和二項式定理,那我們能走多遠呢?」 當Euler在1736年訪問Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)時，他發現當地的市民正從事一項非常有趣的消遣活動。

Konigsberg城中有一條名叫Pregel的河流橫經其中，在河上建有七座橋: 這項有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。

Euler把每一塊陸地考慮成一個點，連接兩塊陸地的橋以線表示 Euler後來推論出此種走法是不可能的。

他的論點是這樣的，除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地（或點）時，他（或她）同時也由另一座橋離開此點。

所以每行經一點時，計算兩座橋（或線），從起點離開的線與最後回到始點的線亦計算兩座橋，因此每一個陸地與其他陸地連接的橋數必為偶數。

我們從Konigsberg七橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數條數，因此上述的任務是不可能實現的。

Eulerian graphs 歐拉圖形 一條途徑v0e1v1e2v2……ekvk 稱為Euler walk（歐拉走路）如果沒有邊 (edge)是重複的，此處vi表頂點，ei表邊。

若一個圖形G中，v0e1v1e2v2……ekvk行經每一邊恰好一次且 vi = vk（起點＝終點），則稱此途徑為Euler tour（歐拉路徑）。

如將路徑所經過的邊以號碼表示，則如何決定一個連接（沒有斷）的圖形具有一條歐拉路徑? 定義某頂點的度數為其為某邊之端點的次數，記為d(v)，亦稱結數。

定理：一個連接（connected）的圖形具有一條歐拉路徑的充分必要條件為每一頂點均是偶結。

如何找出一條歐拉路徑? Fleury's algorithm 可從任一點出發去掉連接此點的一邊。

依序去掉相連的邊但必須注意下列兩條件： 如果某邊去掉後會導致某點無連接的邊，則此頂點亦可去也。

去某邊後不可造成圖形的不連接。

首先計算各頂點的度數（或結數） 根據定理找出一條歐拉路徑。

東普魯士的一個小城鎮哥尼斯堡(Konnigsberg圖一)，這城市雖然不 是很大，卻是大有名氣，它曾經是東普魯士的首都，又曾經育孕出兩個世界級著名人士，十八世紀的哲學家康德和十九世紀大數學家希爾伯特，這城有一條河普累格爾河貫穿其中，和中心有兩個小島，在當時有七座橋把這小島和對岸連接起來，給這城市帶來嚮譽的就的是這七座橋，一天又一天，這七座橋上行走過無數行人，在橋上可以聽到悠揚的鐘聲與吹拂著波羅的海的海風，在某一個週末的下午，突然有人想到，如果從自己的家中出發，是否有可能找出一條路線，經過所有的橋並且只許經過橋一次，這問題如此的簡單，因此立刻吸引所有人的注意，小朋友三五成群的在橋上嬉戲、奔跑，看是否能一次通過這七座橋，老年人晨昏運動，帶著皺紋的腦袋也想著這個問題，可是竟然全城市都沒有人能夠解決這問題，但是歌尼斯堡的人也無須汗顏，因為消息傳到全歐洲之後，大數學家們也解決不出這個問題，就這樣，歌尼斯堡因''七橋問題''而聞名，這問題直到歷史上數學著作最多的瑞士大數學家尤拉(Euler)把它解決，1727年尤拉在二十歲的時候，被俄國請去聖彼得堡（現改名列寧格勒）的科學院作研究，差不多在這個時候，他的德國朋友告訴他這個令人困惑、著名的''哥尼斯堡七橋問題''， 尤拉解決問題問題的第一步把問題''抽象化''，他把四大塊陸地縮成四個 點，而把七座橋變成七條線，於是找一條不重複通過七座橋的路線就變成了不重複畫出這個幾何圖形的一筆畫的問題，尤拉的下一步，是要確定這個問題到底有沒有解，歷史上有許多著名的問題如倍立方、三等分角等問題，困擾兩千多年之後才被人證出示無解的，這就是數學上所謂的''存在性問題''，那麼，不重複通過七橋的路線究竟是否存在呢？

也就是說，一筆畫畫出圖二的方法是否存在呢？

他研究了一筆畫的結構，一筆畫一定會有起點與終點，如果圖形是一條封閉的線（數學上起點、終點一致的線稱為封閉的線）而中間經過的每一個點，因為不是終點，所以必須要再畫出去，也就是說除了起、終點之外，中間的點有兩條線與它相連，如果圖形是封閉的，則起終點一致，則每一個點都會恰有兩條線通過，從圖二中不難看出，每一個點都有三條線通過，因此尤拉就證明出要一筆畫畫出圖二的圖形是不可能的，也就是說，要不重複的走過哥尼斯堡的七座橋是不可能做到的，因此尤拉成功的解決這個問題。

尤拉這些的研究成果，是屬於拓璞學學的範圍，這是一門新的幾何學分 支，在十九世紀之前，幾乎沒有自成一體的研究，只有零星的闡述，萊布尼茲曾預言此學科的重要性，尤拉解決七橋問題，並給出多面體的公式（Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２），高斯的四個代數基本定理證明中，有兩個顯然是拓璞學的，麥斯威爾（Maxwell)將拓璞學引導入電磁學中，後來法國數學家龐佳萊（Poincare）將拓樸學引導入更寬的一條道路上，台灣數學家中，目前拓璞學中作的最好的，就是清華大學，如林文雄教授，每年都會開設代數拓璞的課程，林老師畢業於美國西北大學，後來又到普林斯頓當研究員，有一次國外數學會議上，更是唯一受邀之華人，林老師上課認真，為一優秀之教授，有豐富之學養。

事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的遊戲，從長期實驗的經 驗得知，人們知道如果圖的點全部都是偶點，則可以任選一點當作起點，一筆畫把這個圖形畫完，如果圖形有一個奇點，則以此奇點為起點，可以一筆畫畫完，如果圖形有兩個奇點，則任選一奇點當起點可以一筆畫畫完，如果圖形有三個以上的奇點，那麼是一筆畫不出來的，可惜的是中國的讀書人不重視數學，不然拓樸學的開山祖師能就是中國人了。

七橋問題 http://xserve.math.nctu.edu.tw/people/cpai/carnival/bridge/7.htm這邊有圖示 http://www.math.tku.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath/Konigsberg.htm 參考資料 http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/jyt/famousthm/7bridge.htm

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